Aplicação da fórmula de Herão: determinação do perímetro de um triângulo dadas as três alturas

Neste meu antigo post apresentei uma dedução geométrica da fórmula de Herão da área de um triângulo, que também pode ser obtida por métodos trigonométricos:

$S=\sqrt{p\left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right)},$

em que 2p=a+b+c é o perímetro e a,b e são os lados.

Na questão recente Find the perimeter of any triangle given the three altitude lengths , no MSE, de Chris Johnson são dados os comprimentos das três alturas 12,15 e de um triângulo e pede-se um método que permita determinar o seu perímetro. André Nicolas utilizou um que aplica a fórmula de Herão da área de um triângulo. Eis uma tradução de parte da minha resposta, que segue o mesmo método.

No caso geral de um triângulo com alturas $h_{1},h_{2},h_{3}$ perpendiculates respectivamente aos lados a,b,c , a sua área é $S=\dfrac{ah_{1}}{2}=\dfrac{bh_{2}}{2}=\dfrac{ch_{3}}{2}$ . Consequentemente $a=\dfrac{2S}{h_{1}}$ , $b=\dfrac{2S}{h_{2}}$ , $c=\dfrac{2S}{h_{3}}$ , pelo que o perímetro e o semi-perímetro do triângulos são dados por

$\begin{aligned}2p&=a+b+c=\dfrac{2S}{h},\\p&=\dfrac{S}{h},\end{aligned}$

em que é tal que

$\dfrac{1}{h}=\dfrac{1}{h_{1}}+\dfrac{1}{h_{2}}+\dfrac{1}{h_{3}}\Leftrightarrow h=\dfrac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{2}h_{3}+h_{1}h_{3}+h_{1}h_{2}}.$

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$S=\sqrt{\dfrac{S}{h}\left( \dfrac{S}{h}-\dfrac{2S}{h_{1}}\right) \left( \dfrac{S}{h}-\dfrac{2S}{h_{2}}\right) \left( \dfrac{S}{h}-\dfrac{2S}{h_{3}}\right) }=\dfrac{S^{2}}{h^{2}}\sqrt{\dfrac{\left( h_{1}-2h\right) \left( h_{2}-2h\right) \left( h_{3}-2h\right) }{h_{1}h_{2}h_{3}}}.$